Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng hay sai?
18/24
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng hay sai?
Khẳng định | Đúng | Sai | |
a)[1] | \(\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}0;2]} f(x) = 4\). |
|
|
b)[1] | Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giá trị lớn nhất là 4 và giá trị nhỏ nhất là 0. |
|
|
c)[2] | Hàm số \(y = f\left( {2\cos x} \right)\) có giá trị lớn nhất là 4 tại \(x = \frac{\pi }{2}\).
|
|
|
d)[3] | Không tồn tại giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( {f(x)} \right)\) trên \(\left( { - 2;2} \right)\). |
|
|
a) Dựa trên bảng biến thiên ta có \(\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}0;2]} f(x) = 4\) tại \(x = 2\). Do đó mệnh đề a) đúng.
b) Mệnh đề b) sai vì hàm số không có giá trị nhỏ nhất
c) Đặt \(t = 2\cos x,\,\,t \in \left[ { - 2;2} \right]\), ta có \(y = f\left( {2\cos x} \right) = f(t)\)
\(\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} f\left( {2\cos x} \right) = \mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 2;2]} f\left( t \right) = 4\) khi \(t = \pm 2\), tức là \(\cos x = \pm 1\). Mà \(\cos \frac{\pi }{2} = 0\) nên hàm số \(y = f\left( {2\cos x} \right)\) không đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{\pi }{2}\). Do đó mệnh đề c) sai.
d) Đặt \(t = f(x)\), ta có \(y = f\left( {f(x)} \right) = f(t)\), \(x \in \left( { - 2;2} \right) \Rightarrow t \in \left[ {0;4} \right)\)
Ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left( { - 2;2} \right)} f\left( {f(x)} \right) = \mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}0;4)} f\left( t \right) = 4\) khi \(t = 2\). Vậy mệnh đề d) sai.