Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét đáp án A

\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)cos\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left\{ {\sin \left[ {\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) - \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)} \right] + \sin \left[ {\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)} \right]} \right\}\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\sin \frac{\pi }{3} + \sin 2x} \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \sin 2x} \right)\)\( = \frac{{\sqrt 3 + 2\sin 2x}}{4}\).

Vậy đáp án A đúng.

Xét đáp án B

\(\sin \frac{\pi }{5}\sin \frac{{2\pi }}{5} = \frac{1}{2}\left[ {cos\left( {\frac{\pi }{5} - \frac{{2\pi }}{5}} \right) - cos\left( {\frac{\pi }{5} + \frac{{2\pi }}{5}} \right)} \right]\)

\( = \frac{1}{2}\left( {cos\frac{\pi }{5} - cos\frac{{3\pi }}{5}} \right)\).\( = \frac{1}{2}\left( {cos\frac{\pi }{5} - cos\left( {\pi - \frac{{2\pi }}{5}} \right)} \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {cos\frac{\pi }{5} + cos\frac{{2\pi }}{5}} \right)\).

Vậy đáp án B đúng.

Xét đáp án C

\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)cos2x\)\( = \frac{1}{2}\left\{ {cos\left[ {\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) - \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)} \right] - cos\left[ {\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)} \right]} \right\}cos2x\)

\( = \frac{1}{2}\left( {cos\frac{\pi }{3} - cos2x} \right)cos2x\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} - cos2x} \right)cos2x\)

\( = \frac{1}{4}cos2x - \frac{1}{2}co{s^2}2x\)

\( = \frac{1}{4}cos2x - \frac{1}{2}\left( {\frac{{1 + cos4x}}{2}} \right)\)

\( = \frac{1}{4}cos2x - \frac{1}{4}cos4x - \frac{1}{4}\)

Vậy đáp án C sai.

Xét đáp án D

cos2x – cos4x – cos6x + 1

= 2sin3xsinx + 1 – cos6x

= 2sin3xsinx + 2sin²3x

= 2sin3x(sinx + sin3x)

= 2sin3x×2sin2xcosx

= 4sin3xsin2xcosx

Do đó 2(cos2x – cos4x – cos6x + 1) = 8sin3xsin2xcosx.

Vậy đáp án D đúng.