Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là một cấp số cộng?

6/10

\({u_n} = \frac{1}{{n + 2}};\)

\[{u_n} = \frac{{{n^2} - 2}}{n};\]

\({u_n} = \frac{{{2^n}}}{n};\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = \sqrt {2 + {u_n}} \end{array} \right.\).

Giải thích

Đáp án đúng là: D

Ta có: u₂ = 2; u₃ = 2; u₄ = 2; u₅ = 2...

Dự đoán: u_n = 2 ∀n ∈ ℕ^*.

Ta chứng minh u_n = 2 bằng phương pháp quy nạp:

+ Với n = 1 ta có: u₁ = 2 nên đúng với n = 1.

+ Giả sử đúng với n = k, tức là: u_k = 2.

Ta chứng minh dãy số đúng với n = k + 1 hay u_k₊₁ = 2.

Theo giả thiết ta có: \[{u_{k + 1}} = \sqrt {2 + {u_k}} = \sqrt {2 + {\rm{2}}} = 2\]

\(\Rightarrow \) Đúng với n = k + 1, suy ra điều phải chứng minh.

Vậy với mọi n ta có: u_n = u_{n + 1} nên u_{n + 1} − u_n = 0.

\(\Rightarrow \) Dãy số (u_n) là cấp số cộng với công sai d = 0.