Trong 20 phút theo dõi, lưu lượng nước của một con sông được tính theo công thức:
6/32
Trong 20 phút theo dõi, lưu lượng nước của một con sông được tính theo công thức: \[Q(t) = - \frac{1}{5}{t^3} + 5{t^2} + 100,\] trong đó Q tính theo m3/phút, t tính theo phút, 0 ≤ t ≤ 20 (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016). Khi lưu lượng nước của con sông lên đến 550 m3/phút thì cảnh báo lũ được đưa ra.
Trong thời gian theo dõi, lưu lượng nước của con sông lớn nhất là bao nhiêu? Cảnh báo lũ được đưa ra vào thời điểm nào?
Xét hàm số \({\rm{Q}}({\rm{t}}) = - \frac{1}{5}{t^3} + 5{t^2} + 100\) với \({\rm{t}} \in [0;20]\).
Ta có \({\rm{Q}}({\rm{t}}) = - \frac{3}{5}{t^2} + 10t\); \({{\rm{Q}}^\prime }({\rm{t}}) = 0 \Leftrightarrow - \frac{3}{5}{t^2} + 10t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{50}}{3}{\rm{ hoặc }} = 0.{\rm{ }}\)
Bảng biến thiên của hàm số trên doạn [0 ; 20] như sau:
Từ bảng biến thiên suy ra \({\max _{[0:20]}}{\rm{Q}}({\rm{t}}) = \frac{{15200}}{{27}}\) tại \(t = \frac{{50}}{3}\), tức là lưu lượng nước của con sông lớn nhât là \(\frac{{15200}}{{27}}\;{{\rm{m}}^3}/\) phút tại thời điểm \(t = \frac{{50}}{3}\) phút.
Cảnh báo lū được đưa ra khi lưu lượng nước của con sông lên đến \(550\;{{\rm{m}}^3}/\) phút, tức là
\(Q(t) \ge 550 \Leftrightarrow - \frac{1}{5}{t^3} + 5{t^2} + 100 \ge 550 \Leftrightarrow - \frac{1}{5}{t^3} + 5{t^2} + 450 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{t}} \le 5 - 5\sqrt 7 }\\{15 \le {\rm{t}} \le 5 + 5\sqrt 7 }\end{array}} \right.{\rm{. }}\)
Lại có \(t \in [0;20]\) nên \(15 \le t \le 5 + 5\sqrt 7 \).
Vây tại thời điếm \(t \in [15;5 + 5\sqrt 7 ]\) phút thì cảnh báo lū được đưa ra.