Trên sườn đồi nghiêng một góc α = góc OAB = 26° so với phương nằm ngang, có một cây cổ thụ mọc thẳng đứng (hình minh họa bên dưới). Từ điểm A dưới chân đồi, cách gốc cây một đoạn AB = 30 m, n
21/22
(1,0 điểm). Trên sườn đồi nghiêng một góc \(\alpha = \widehat {OAB} = 26^\circ \) so với phương nằm ngang, có một cây cổ thụ mọc thẳng đứng (hình minh họa bên dưới). Từ điểm \(A\) dưới chân đồi, cách gốc cây một đoạn \(AB = 30{\rm{\;m}}\), người ta nhìn đỉnh ngọn cây \(C\) dưới một góc \(\beta = \widehat {OAC} = 50^\circ \) so với phương nằm ngang. Tính chiều cao \(BC\) của cây cổ thụ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị tính bằng mét).
Xét tam giác \(ABC\) được tạo bởi điểm quan sát \(A\), gốc cây \(B\), và ngọn cây \(C\).
Tính các góc trong tam giác \(ABC\):
Ta có \(\widehat {BAC}\) là góc tạo bởi hướng nhìn đỉnh cây và hướng sườn đồi: \(\widehat {BAC} = \beta - \alpha = 50^\circ - 26^\circ = 24^\circ \).
Cây cổ thụ \(BC\) mọc thẳng đứng nên \(BC\) vuông góc với phương nằm ngang \(OA\) tại một điểm ảo, hoặc ta xét tam giác vuông \(AOC\) vuông tại \(O\): \(\widehat {ACO} = 90^\circ - \widehat {OAC} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \Rightarrow \widehat {ACB} = 40^\circ \).
Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABC\): \(\frac{{BC}}{{{\rm{sin}}\widehat {BAC}}} = \frac{{AB}}{{{\rm{sin}}\widehat {ACB}}}\).
Từ đó, ta suy ra biểu thức tính chiều cao \(BC\): \(BC = \frac{{AB \cdot {\rm{sin}}\widehat {BAC}}}{{{\rm{sin}}\widehat {ACB}}}\)\( = \frac{{30 \cdot {\rm{sin}}24^\circ }}{{{\rm{sin}}40^\circ }} \approx 18,98\) m.
Kết luận: Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, chiều cao của cây cổ thụ \(BC\) xấp xỉ bằng \(19{\rm{\;m}}\).