Trên sân khấu của chương trình ngoại khoá Toán học của trường THPT X, người ta đặt hai màn hình cảm ứng A và B hoạt động độc lập với nhau. Trên mỗi màn hình có một thanh trượt di chuyển đều t

22/22

Trên sân khấu của chương trình ngoại khoá Toán học của trường THPT X, người ta đặt hai màn hình cảm ứng A và B hoạt động độc lập với nhau. Trên mỗi màn hình có một thanh trượt di chuyển đều từ 0 đến 2. Khi người chơi bấm dừng, thanh trượt dừng ngẫu nhiên tại một số thực thuộc đoạn \[\left[ {0;2} \right].\] Gọi 2 số thực xuất hiện trên hai màn hình A, B lần lượt là \(a,b.\) MC đưa ra phương trình \({x^3} - 3bx + 2a = 0\) và quy định: Nếu phương trình có ít nhất 2 nghiệm thực, người chơi sẽ nhận được một phần quà lưu niệm. Nếu phương trình chỉ có 1 nghiệm thực, người chơi sẽ nhận được 1 tràng pháo tay từ khán giả. Hãy tính xác suất để người chơi nhận được 1 phần quà lưu niệm (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: 0,5

(i) Trước hết, ta đi tìm điều kiện để phương trình \(f\left( x \right) = 0\) với \(f\left( x \right) = {x^3} - 3bx + 2a\) và \(a,b \in \left[ {0;2} \right]\) có ít nhất hai nghiệm.

· Nhận thấy rằng, do \(f\left( x \right)\) làm hàm số bậc ba nên phương trình \[f\left( x \right) = 0\] có ít nhất hai nghiệm khi và chỉ khi \(f\left( x \right)\) có hai cực trị thoả mãn \({y_{{\rm{CD}}}} \cdot {y_{{\rm{CT}}}} \le 0\)

· \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2b;f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} = b \Leftrightarrow x = \pm \sqrt b \) với \(b > 0.\)

· Khi đó,

\(\begin{array}{l}\quad \,\,{y_{{\rm{CD}}}} \cdot {y_{{\rm{CT}}}} \le 0\\ \Leftrightarrow \left( { - b\sqrt b + 3b\sqrt b + 2a} \right)\left( {b\sqrt b - 3b\sqrt b + 2a} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {2a - 2b\sqrt b } \right)\left( {2a + 2b\sqrt b } \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - {b^3} \le 0\\ \Leftrightarrow {b^3} \ge {a^2}\\ \Leftrightarrow b \ge {a^{\frac{2}{3}}}\end{array}\)

· Vậy để \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất hai nghiệm thì điều kiện của \[a,b\] là miền \(D:\left\{ \begin{array}{l}a \in \left[ {0;2} \right]\\b \in \left( {0;2} \right]\\b \ge {a^{\frac{2}{3}}}.\end{array} \right.\)

Vẽ miền \(D\) trong hệ trục toạ độ \(Oab\), ta được phần gạch sọc như hình bên dưới:

Diện tích miền \(D\) là \[{S_D} = \int\limits_0^2 {\left( {2 - {a^{\frac{2}{3}}}} \right){\rm{d}}a} \approx 2,095\]

(ii) Gọi \[M\] là biến cố “Người chơi nhận được một phần quà lưu niệm”. Khi đó

· \(\Omega = \left\{ {\left. {\left( {a;b} \right)} \right|a;b \in \left[ {0;2} \right]} \right\} \Rightarrow \Omega \) biểu diễn một hình vuông cạnh bằng 2. Diện tích của miền \(\Omega \) là \({S_\Omega } = 4.\)

· \(P\left( M \right) = \frac{{{S_D}}}{{{S_\Omega }}} \approx 0,5.\)