Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như Hình 34
5/10
Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như Hình 34. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ toạ độ phù hợp, các điểm \(O\) (gốc cây thông) và A, B (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là \(O(0;0;0),A(3; - 4;2)\), \(B( - 5; - 2;1)\), đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét.
Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm \((0;0;5)\) và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng.
a) Tính độ dài của mỗi dây neo được sử dụng.
b) Tính góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
a) Do điểm \(C(0;0;5)\) nên \(AC = \sqrt {{{(3 - 0)}^2} + {{( - 4 - 0)}^2} + {{(2 - 5)}^2}} = \sqrt {34} (\;{\rm{m}})\);
\(BC = \sqrt {{{( - 5 - 0)}^2} + {{( - 2 - 0)}^2} + {{(1 - 5)}^2}} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 (\;{\rm{m}}){\rm{. }}\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {OA} = (3; - 4;2),\overrightarrow {OB} = ( - 5; - 2;1)\) nên \([\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4}&2\\{ - 2}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\1&{ - 5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 4}\\{ - 5}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = (0; - 13; - 26){\rm{. }}\)
Vì thế, vectơ \(\vec n = (0;1;2)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((OAB)\).
Mặt khác, do \(\overrightarrow {CA} = (3; - 4; - 3),\overrightarrow {BC} = (5;2;4)\) nên ta có:
- \(\sin (CA,(OAB)) = |\cos (\overrightarrow {CA} ,\vec n)| = \frac{{|\overrightarrow {CA} \cdot \vec n|}}{{|\overrightarrow {CA} | \cdot |\vec n|}} = \frac{{|3 \cdot 0 + ( - 4) \cdot 1 + ( - 3) \cdot 2|}}{{\sqrt {34} \cdot \sqrt 5 }} = \frac{{10}}{{\sqrt {170} }}\),
suy ra (CA,(OAB))≈50°. Vậy góc tạo bởi dây neo CA và mặt phẳng sườn núi là khoảng 50°.
\({\rm{ - }}\sin (BC,(OAB)) = |\cos (\overrightarrow {BC} ,\vec n)| = \frac{{|\overrightarrow {BC} \cdot \vec n|}}{{|\overrightarrow {BC} | \cdot |\vec n|}} = \frac{{|5 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 2|}}{{3\sqrt 5 \cdot \sqrt 5 }} = \frac{2}{3}{\rm{, }}\)
suy ra (BC,(OAB))≈42°. Vậy góc tạo bởi dây neo BC và mặt phẳng sườn núi là khoảng 42°.