Trên một mảnh đất hình vuông ABCD cạnh a, bác An đặt một chiếc đèn pin tại vị trí A chiếu chùm sáng phân kì sang phía góc C. Bác An nhận thấy góc chiếu của đèn pin giới hạn bởi hai tia AM và
19/25
Trên một mảnh đất hình vuông ABCD cạnh a, bác An đặt một chiếc đèn pin tại vị trí A chiếu chùm sáng phân kì sang phía góc C. Bác An nhận thấy góc chiếu của đèn pin giới hạn bởi hai tia AM và AN, ở đó các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh sao cho \(BM = \frac{1}{2}BC\), \(DN = \frac{1}{3}DC\).
Khi đó:
\(\tan \left( {\widehat {BAM} + \widehat {DAN}} \right) = 1\).
Góc chiếu sáng của đèn pin bằng 45 độ.
Vùng đất không được đèn pin chiếu sáng (vùng đất nằm ngoài góc chiếu đèn pin và thuộc mảnh đất ABCD) có diện tích bằng \(\frac{5}{6}\) diện tích vùng được chiếu sáng.
Bác An tắt chiếc đèn pin cũ và đặt vị trí A hai chiếc đèn pin mới có góc chiếu hẹp hơn. Chiếc thứ nhất chiếu chùm tia sáng phân kì giới hạn bởi hai tia AM1, AN1 tạo thành góc α, chiếc thứ hai giới hạn bởi hai AM2, AN2 tạo thành góc β sao cho α + β = 45°. Khi đó giá trị của biểu thức P = (1 + tanα)(1 + tanβ) luôn bằng 2.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.Trong tam giác vuômg ABM, \(\tan \widehat {BAM} = \frac{{BM}}{{BA}} = \frac{1}{2}\)
Trong tam giác vuông AND, \(\tan \widehat {DAN} = \frac{{DN}}{{DA}} = \frac{1}{3}\)
Do đó, \(\tan \left( {\widehat {BAM} + \widehat {DAN}} \right) = \frac{{\tan \widehat {BAM} + \tan \widehat {DAN}}}{{1 - \tan \widehat {BAM} \cdot \tan \widehat {DAN}}} = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}} = 1\).
b) Đúng. Do \(\tan \left( {\widehat {BAM} + \widehat {DAN}} \right) = 1\) nên \(\widehat {BAM} + \widehat {DAN} = 45^\circ \).
Nên \(\widehat {MAN} = 90^\circ - \left( {\widehat {BAM} + \widehat {DAN}} \right) = 45^\circ \).
Vậy góc chiếu sáng của đèn pin bằng 45°.
c) Sai. \(BM = CM = \frac{1}{2}CB = \frac{a}{2}\), \(CN = \frac{2}{3}DC = \frac{{2a}}{3}\), \(DN = \frac{1}{3}CD = \frac{a}{3}\).
Ta có SABCD = a2.
Tam giác ABM vuông tại B nên \({S_{ABM}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2} = \frac{{{a^2}}}{4}\).
Tam giác AND vuông tại D nên \({S_{ADN}} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DN = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{3} = \frac{{{a^2}}}{6}\).
Tam giác CMN vuông tại C nên \({S_{CMN}} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot NC = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{{2a}}{3} = \frac{{{a^2}}}{6}\).
\({S_{AMN}} = {S_{ABCD}} - \left( {{S_{ABM}} + {S_{ADN}} + {S_{MCN}}} \right) = {a^2} - \left( {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{6} + \frac{{{a^2}}}{6}} \right)\)
\( = {a^2} - \left( {\frac{{3{a^2} + 2{a^2} + 2{a^2}}}{{12}}} \right) = \frac{{5{a^2}}}{{12}}\).
Gọi diện tích vùng đất không được chiếu sáng là S1.
Khi đó:\({S_1} = {S_{ABM}} + {S_{ADN}} = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{6} = \frac{{5{a^2}}}{{12}}\).
Gọi diện tích vùng đất được chiếu sáng là S2.
Khi đó \({S_2} = {S_{AMN}} + {S_{CMN}} = \frac{{5{a^2}}}{{12}} + \frac{{{a^2}}}{6} = \frac{{7{a^2}}}{{12}}\).
Tỷ số vùng đất được chiếu sáng và vùng đất không được chiếu sáng là: \(k = \frac{{7{a^2}}}{{12}}:\frac{{5{a^2}}}{{12}} = \frac{7}{5}\).
d) Đúng.
\(\tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \tan 45^\circ \Rightarrow \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }} = 1 \Leftrightarrow 1 - \tan \alpha \tan \beta = \tan \alpha + \tan \beta \)
\( \Rightarrow \tan \alpha + \tan \beta + \tan \alpha \cdot \tan \beta = 1\).
P = (1 + tanα)(1 + tanβ) = 1+ tanβ + tanα + tanα∙tanβ = 1 + 1 = 2.