Trên một mảnh đất hình thang vuông ABCD người ta xây dựng một sân vận động hình chữ nhật
6/9
Trên một mảnh đất hình thang vuông ABCD người ta xây dựng một sân vận động hình chữ nhật AEFD và 3 ngôi nhà. Nhà bảo vệ C, nhà ban quản lý sân B, nhà tạm nghỉ và thay trang phục P. Kèm theo đó người ta xây dựng hai cửa chính Q, H và cùng một cửa phụ K. Bạn hãy giúp người thiết kế sân tìm vị trí P, Q, H, K sao cho trước và sau mỗi trận thi đấu, người bảo vệ có thể đi theo con đường C→H→K→Q→B→P→C ngắn nhất để làm nhiệm vụ. Theo đó người ta cho xây các cửa P,H,Q,K và con đường BPC. Sơ đồ mảnh đất và vị trí cố định của B, C và các vị trí cần được xác định P,Q,H,K có dạng như hình vẽ.
Ta giải bài toán này như sau: Con đường C→H→K→Q→B→P→C, sẽ ngắn nhất nếu ta tìm được P,Q,H,K mà S1=PB+PC nhỏ nhất và S2=CH+HK+KQ+QB nhỏ nhất.
Ta xác định các vị trí P,Q,H,K như sau:
- Gọi C' là điểm đối xứng với C qua EF; gọi C'' là điểm đối xứng với C qua AD.
- Gọi B là giao điểm của BC' và EF; K là giao điểm của BC'' và EF; H là giao điểm của CK và EF.
Việc chứng minh điểm P dựng như trên để S1 nhỏ nhất đã trình bày trong ví dụ 1. Việc dựng điểm K như trên, cũng như theo ví dụ 1 đã nêu thì mới đảm bảo cho S=BK+KC nhỏ nhất.
Ta sẽ chứng minh các điểm K,Q,H dựng như vậy thoả mãn S2=CH+HK+KQ+QB nhỏ nhất.
Thật vậy: xét các điểm K1,Q1,H1 bất kỳ lần lượt thuộc AD,EF. Ta nhận thấy:
CH1+H1K1≥CK1K1Q1+Q1B≥K1B⇒CH1+H1K1+K1Q1+Q1B≥CK1+K1B
Theo cách dựng điểm K thì CK1+K1B≥KB+KC
Từ đó suy ra: CH1+H1K1+K1Q1+Q1B≥KB+KC
Dấu “=” trong CH1+H1K1+K1Q1+Q1B≥KB+KC
xảy ra khi và chỉ khi các dấu “=” trong
CH1+H1K1≥CK1,K1Q1+Q1B≥K1B,CH1+H1K1+K1Q1+Q1B≥CK1+K1B,
CK1+K1B≥KB+KC đồng thời xảy ra. Như vậy K,Q,H dựng như hình trên đảm bảo cho ta S2 là nhỏ nhất.
Tóm lại: S1+S2=CH+HK+KQ+QB+BP+PC, với cách dựng P,Q,H,K như trên thì S1+S2 nhỏ nhất. Do các điểm P, K là duy nhất, nên vị trí các điểm P, Q, H, K như trên là duy nhất. Để ý là mảnh đất ABCD là hình thang vuông, sân vận động AEFD là hình chữ nhật nên ta chứng minh được các vị trí P, Q, H, K xác định như trên là thoả mãn các yêu cầu thực tế của bài toán. (Cụ thể là: Q,P,H nằm trên cạnh EF; K nằm trên cạnh AD của hình chữ nhật ABCD và P nằm giữa Q và H).