Trên mặt phẳng toạ độ oxyz biết tập hợp các điểm M biểu diễn hình học số

21/150

Trên mặt phẳng toạ độ \[Oxy,\] biết tập hợp các điểm \(M\) biểu diễn hình học số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 2} \right| + \left| {z + 2} \right| = 10\) là một elip \((E).\) Phương trình elip đó là

\((E):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1.\)

\((E):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{21}} = 1.\)

\((E):\frac{{{x^2}}}{{21}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1.\)

\((E):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1.\)

Giải thích

Cách 1: Gọi \(A\left( {0\,;\,\, - 2} \right),\,\,B\left( {0\,;\,\,2} \right) \Rightarrow MA + MB = 10 = 2a \Rightarrow a = 5.\)

Và \(AB = 2c = 4 \Rightarrow c = 2 \Rightarrow {b^2} = {a^2} - {c^2} = 21.\) Do đó \((E):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{21}} = 1.\)

Cách 2: \(M\left( {x\,;\,\,y} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z = x + yi\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right).\)

Ta có: \(\left| {z - 2} \right| + \left| {z + 2} \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {x - 2 + yi} \right| + \left| {x + 2 + yi} \right| = 10\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {y^2}} = 10 - \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {y^2}} {\rm{. }}\)

Bình phương hai vế, ta được \[{\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = 100 + {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} - 20\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {y^2}} \]

\[ \Leftrightarrow 5\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {y^2}} = 25 - 2x\]

Bình phương hai vế, ta được \(25\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + 25{y^2} = {25^2} - 4 \cdot 25x + 4{x^2}\)\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{21}} = 1\).

Chọn B.