Trên mảnh đất hình chữ nhật ABCD có diện tích 25 m 2 , người chủ lấy một phần đất để trồng cỏ. Biết phần đất trồng cỏ này có dạng hình chữ nhật với hai đỉnh đối diện là A và H , với H
18/22
Trên mảnh đất hình chữ nhật \(ABCD\) có diện tích \(25{{\rm{m}}^2}\), người chủ lấy một phần đất để trồng cỏ. Biết phần đất trồng cỏ này có dạng hình chữ nhật với hai đỉnh đối diện là \(A\) và \(H\), với \(H\) thuộc cạnh \(BD\). Biết chi phí trồng cỏ là \(80\) (nghìn đồng)\(/{{\rm{m}}^2}\). Hỏi số tiền lớn nhất người chủ cần chuẩn bị để trồng cỏ (miền tô đậm) là bao nhiêu (nghìn đồng)?
Vì \(\Delta DHN\) đồng dạng với \(\Delta DBA\) nên \(\frac{{DN}}{{DA}} = \frac{{NH}}{{AB}} = x\), với \(0 < x < 1\).
Khi đó \(NH = x.AB\); \(DN = x.DA \Rightarrow AN = \left( {1 - x} \right)DA\).
Ta có \({S_{AMHN}} = AN.NH = x\left( {1 - x} \right).AB.DA = x\left( {1 - x} \right){S_{ABCD}} = 25x\left( {1 - x} \right)\).
Số tiền người chủ cần chuẩn bị để trồng cỏ là \(80.25x\left( {1 - x} \right)\) (nghìn đồng).
Để số tiền lớn nhất thì \(f\left( x \right) = x\left( {1 - x} \right)\) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
Nhận thấy \(f\left( x \right) = x\left( {1 - x} \right) = x - {x^2} = \frac{1}{4} - {\left( {\frac{1}{2} - x} \right)^2} \le \frac{1}{4},\forall x \in \left( {0;1} \right)\). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{1}{2}\).
Vậy số tiền lớn nhất người chủ cần chuẩn bị để trồng cỏ là \(500\) (nghìn đồng).