Trên hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị độ dài: m), một người lái mô tô xuất phát từ vị trí
19/22
Trên hệ trục tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị độ dài: m), một người lái mô tô xuất phát từ vị trí \(A(0;0;0)\) đến \(B(0;600;0)\) trong 6 phút. Từ \(B\), người đó cho xe đổi hướng để tiến thẳng đến \(C(1500;600;0)\) với tốc độ không đổi và bằng đúng tốc độ khi đi từ \(A\) đến \(B\).
Hỏi ở phút thứ 8 kể từ khi xe đổi hướng, tốc độ thay đổi khoảng cách của xe mô tô đối với vị trí xuất phát \(A\) là bao nhiêu m/phút?
Đáp án: 80.
Ta có: \(A = (0;0;0)\) và \(B = (0;600;0)\).
Độ dài quãng đường \(AB\) là \(AB = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(600 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = \sqrt {{0^2} + {{600}^2} + {0^2}} = 600\) (m).
Thời gian đi từ \(A\) đến \(B\) là 6 phút.
Tốc độ của xe mô tô khi đi từ \(A\) đến \(B\) là: \(v = \frac{{AB}}{6} = \frac{{600}}{6} = 100\) (m/phút).
Sau khi đổi hướng tại \(B\), xe đi từ \(B(0;600;0)\) đến \(C(1500;600;0)\) với tốc độ không đổi \(v = 100\) m/phút.
Giả sử tại thời điểm \(t\) (phút) kể từ khi đổi hướng tại \(B\), xe đang ở vị trí \(M(x;y;z)\).
Vecto chỉ phương của đoạn \(BC\) là: \({\vec u_{BC}} = \frac{{\overrightarrow {BC} }}{{|\overrightarrow {BC} |}} = \frac{{(1500 - 0;600 - 600;0 - 0)}}{{\sqrt {{{1500}^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{(1500;0;0)}}{{1500}} = (1;0;0)\).
Vị trí của xe tại thời điểm \(t\) là: \(M(t) = B + v \cdot t \cdot {\vec u_{BC}}\)
\(M(t) = (0;600;0) + 100 \cdot t \cdot (1;0;0)\)
\(M(t) = (0 + 100t;600 + 0;0 + 0)\)
\(M(t) = (100t;600;0)\).
Khoảng cách từ xe mô tô đến vị trí xuất phát \(A(0;0;0)\) tại thời điểm \(t\) là \(D(t)\):
\(D(t) = |\overrightarrow {AM(t)} | = \sqrt {{{(100t - 0)}^2} + {{(600 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} \)\( = \sqrt {{{(100t)}^2} + {{600}^2}} \)\( = 100\sqrt {{t^2} + 36} \).
Tốc độ thay đổi khoảng cách của xe mô tô đối với vị trí xuất phát \(A\) chính là đạo hàm của \(D\left( t \right)\) theo \(t\):
\(D'\left( t \right) = {\left( {100\sqrt {{t^2} + 36} } \right)^\prime }\)\( = 100 \cdot \frac{1}{{2\sqrt {{t^2} + 36} }} \cdot (2t)\)\( = \frac{{100t}}{{\sqrt {{t^2} + 36} }}\).
Tại phút thứ 8 kể từ khi xe đổi hướng, tức là \(t = 8\) phút.
Thay \(t = 8\) vào biểu thức \(D'\left( t \right)\) ta được:
\(D'\left( 8 \right) = \frac{{100 \cdot 8}}{{\sqrt {{8^2} + 36} }}\)\( = \frac{{800}}{{\sqrt {64 + 36} }}\)\( = \frac{{800}}{{\sqrt {100} }}\)\( = \frac{{800}}{{10}}\)\( = 80\) (m/phút).
Vậy, ở phút thứ 8 kể từ khi xe đổi hướng, tốc độ thay đổi khoảng cách của xe mô tô đối với vị trí xuất phát \(A\) là 80 m/phút.