Trên đường thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng bờ d

1) Vì P thuộc đường tròn đường kính IC nên \(\widehat {CPI} = 90^\circ \)

Suy ra: \(\widehat {CPK} = 90^\circ \)

Xét tứ giác BCPK có:

\(\widehat {CPK} + \widehat {CBK} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Suy ra: BCPK nội tiếp đường tròn.

2) Vì \(\widehat {PCI} = 90^\circ \)⇒\(\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = 90^\circ \)

Mà \(\widehat {{K_1}} + \widehat {{K_2}} = 90^\circ \)(vì tam giác KBC vuông tại B)

Suy ra: \(\widehat {{K_1}} = \widehat {{C_1}}\)

Xét ∆IAC và ∆CBK có:

\(\widehat {{K_1}} = \widehat {{C_1}}\)

\(\widehat {IAC} = \widehat {KBC} = 90^\circ \)

⇒ ∆IAC ~ ∆CBK (g.g)

⇒\(\frac{{AI}}{{BC}} = \frac{{AC}}{{BK}}\)⇒ AI.BK = AC.BC