Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, cho parabol

Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, cho parabol \(\left( {\rm{P}} \right):{\rm{y}} = {{\rm{x}}^2}\) và đường thẳng \(\left( {\rm{d}} \right):{\rm{y}} = {\rm{kx}} + 5\). Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A và B. Gọi C, D lần lượt là hình chiếu của A, B trên trục Ox.

a) Khi k=-4, tính diện tích hình thanh ABDC.

b) Tìm tất cả các giá trị của k để AD và BC cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đường tròn đường kính CD.

a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

\({x^2} = - 4x + 5\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 5 = 0\)

\(a + b + c = 1 + 4 - 5 = 0\)

\(x = 1,\;x = - 5\)

\(x = 1 \Rightarrow y = {x^2} = 1\)

\(x = - 5 \Rightarrow y = {x^2} = 2\)

\(A\left( { - 5;25} \right)\;v\`a \;B\left( {1;1} \right)\)

Diện tích hình thanh \(ABDC:\)

\(\frac{{\left( {AC + BD} \right).CD}}{2} = \frac{{\left( {25 + 1} \right).6}}{2} = 78\) (đvdt)

b) + Gọi I là giao điểm của AD và BC.

Vì I thuộc đường tròn đường kính CD nên:

CID^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow AD \bot BC\)

+ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

\({x^2} = kx + 5\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - kx - 5 = 0\)

\(c.a = - 5 < 0\)

Do đó hai đồ thị luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu.

Toạ độ hai giao điểm là \(A\left( {{x_1},\;{y_1}} \right)\;v\`a \;B\left( {{x_2},\;{y_2}} \right)\).

+ Theo định lí Vi-ét: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = k}\\{{x_1}{x_2} = - 5}\end{array}} \right.\)

+ Phương trình đường thẳng AD có dạng: \(y = ax + b\). Ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_1} = a{x_1} + b}\\{{y_D} = a{x_D} + b}\end{array}} \right.\;\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k{x_1} + 5 = a{x_1} + b}\\{0 = a{x_2} + b\;}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow k{x_1} + 5 = a\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\) (trừ theo vế)

+ Phương trình đường thẳng BC có dạng: \(y = a'x + b'\). Tương tự như trên ta có:

\(k{x_2} + 5 = a'\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\)

Nhân theo vế hai ý vừa có được:

\(\left( {k{x_1} + 5} \right)\left( {k{x_2} + 5} \right) = \mathop {\mathop { - a.a'}\limits_{} }\limits_{} .{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {k^2}{x_1}{x_2} + 5k\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 25 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\)\( \Leftrightarrow - 5{k^2} + 5{k^2} + 25 = {k^2} + 20\)

\( \Leftrightarrow {k^2} = 5\)\( \Leftrightarrow k = \pm \sqrt 5 \)

Vậy \(k = \pm \sqrt 5 \)