Trên cửa sổ có dạng hình chữ nhật, họa sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệp kinh doanh hải sản. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong hình

a) Từ đồ thị ta thấy parabol \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có đỉnh tại điểm \(O\left( {0\,;\,0} \right)\) nên \(c = 0\) và đi qua điểm \(A\left( {2\,;\,4} \right)\) nên \(4 = 4a + 2b\).

Giả sử \(b = 0\) (do parabol đối xứng quá trục tung) nên \(4a = 4 \Rightarrow a = 1\) nên \(y = f\left( x \right) = {x^2}\).

Parabol \(y = g\left( x \right) = m{x^2} + nx + p\) có đỉnh tại điểm \(E\left( {2\,;\,0} \right)\) nên \(y = - m{\left( {x - 2} \right)^2} + 0\) và đi qua điểm \(C\left( {3\,;\,1} \right)\) nên \(m = - 1\) nên \(y = g\left( x \right) = - {\left( {x - 2} \right)^2}\).

b) Phương trình hoành độ giao điểm của \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là \({x^2} = - {\left( {x - 2} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).

Diện tích của logo là:

\(S = \int\limits_1^2 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = } \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right){\rm{d}}x = \left( {\frac{2}{3}{x^3} - 2{x^2} + 4x} \right)} \left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. = \frac{{20}}{3}\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

c) Logo chỉ cho phép 50% lượng ánh sáng đi qua. Diện tích cửa sổ là \(2.4 = 8\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Lượng ánh sáng đi qua cửa sổ trước khi làm logo là: \(100\% \) ánh sáng \( = \,\,8\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Lượng ánh sáng đi qua cửa sổ sau khi làm logo là: \(50\% .\frac{{20}}{3} = \frac{{10}}{3}\,\,\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Tổng lượng ánh sáng đi qua sau khi làm là: \(8 - \frac{{10}}{3} = \frac{{14}}{3}\,\,\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Lượng ánh sáng đi qua toàn bộ cửa sổ sau khi làm logo sẽ giảm\(\frac{{8 - \frac{{14}}{3}}}{8}.100 = 41,6\,\,\,\left( \% \right)\).