Trên cánh cửa được trang trí các núm có dạng một khối tròn xoay được đúc bằng chất liệu đồng
22/22
Trên cánh cửa được trang trí các núm có dạng một khối tròn xoay được đúc bằng chất liệu đồng, khuôn đúc của nó được tạo thành khi quay miền \(\left( H \right)\) (phần được tô màu trong hình vẽ) quanh trục \(AB\). Miền \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi các cạnh \(AB\), \(AD\) của hình vuông \(ABCD\) và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng \(1\) cm với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AD\), \(AB\). Biết công thức tính khối lượng của một vật là \(P = V \cdot D\), trong đó \(P\) là khối lượng của vật (đơn vị gam), \(V\) là thể tích của vật (đơn vị \({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)) và \(D\) là khối lượng riêng của vật (đơn vị \({\rm{gam/c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)), khối lượng riêng của đồng là \(D = 8,96\,{\rm{gam/c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).Giá đồng trên thị trường là 200 000 đồng/kg. Giá tiền vật liệu để đúc một núm đồng trên là bao nhiêu nghìn đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Lắp hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ (\(O \equiv A\)).
Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AD\).
Đường tròn tâm \(M\left( {1;0} \right)\), bán kính 1 cm có phương trình là:
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 1 \Rightarrow y = \sqrt {1 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}} = \sqrt { - {x^2} + 2x} \).
Đường tròn tâm \(N\left( {0;1} \right)\), bán kính 1 cm có phương trình là:
\({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1 \Rightarrow y = 1 + \sqrt {1 - {x^2}} \).
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình \(\left( H \right)\) quanh trục hoành là:
\(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}{\rm{d}}x} + \pi \int\limits_1^2 {\left( { - {x^2} + 2x} \right){\rm{d}}x} \).
Giá tiền vật liệu để đúc một núm đồng trên là: \(\frac{{V \cdot 8,96 \cdot 200}}{{1000}} \approx 22\) (nghìn đồng).
Đáp án: 22.