Trạm tàu cứu hộ được đặt tại vị trí A(5;0;0) trên một hòn đảo nhỏ trong không gian \(Oxyz\)

Chúng ta cần tìm vị trí tối ưu của tàu du lịch \(B\) (tương ứng với điểm \(B\)) và tàu chở hàng \(C\) (tương ứng với điểm \(C\)) sao cho tổng quãng đường cứu hộ \(T = AB + BC + CA\)là nhỏ nhất.

Trong không gian \(Oxyz\), ta có:

Hai đường thẳng \({d_1},\,{d_2}\) cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,z = 0\) và \(A \in \left( \alpha \right)\).

\({d_1}\) có một vectơ chỉ phương \({\vec u_1} = \left( {1;\, - 2;\,0} \right)\); \({d_2}\) có một vectơ chỉ phương \({\vec u_2} = \left( { - 1;\,1;\,0} \right)\).

Do \(\left[ {{{\vec u}_1},\,{{\vec u}_2}} \right] \ne \vec 0\) nên \({d_1}\) cắt \({d_2}\).

Gọi \({A_1},\,{A_2}\) lần lượt là điểm đối xứng của \(A\) qua \({d_1}\) và \({d_2}\).

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với \({d_1}\)\( \Rightarrow \,\,\left( P \right):x - 2y - 5 = 0\).

Gọi \(I = \left( P \right) \cap {d_1}\), thì tọa độ của \(I\) là nghiệm của hệ \[{d_1}:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - 2t\\z = 0\\x - 2y - 5 = 0\end{array} \right.\]\( \Rightarrow I\left( {3;\, - 1;\,0} \right)\)

\( \Rightarrow {A_1}\left( {1;\, - 2;\,0} \right)\).

Gọi \(\left( Q \right)\)là mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với \({d_2}\)\( \Rightarrow \,\left( Q \right): - x + y + 5 = 0\).

Gọi \(J = \left( Q \right) \cap {d_2}\), thì tọa độ của \(J\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - s\\y = 11 + s\\z = 0\\ - x + y + 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow J\left( {9;\,4;\,0} \right)\)

\( \Rightarrow {A_2}\left( {13;\,8;\,0} \right)\).

Khi đó \(T = AB + BC + CA = {A_1}B + BC + C{A_2} \ge {A_1}{A_2}\).

Dấu bằng xảy ra khi \(B,\,C,\,{A_1},\,{A_2}\) thẳng hàng.

Vậy \(T\) đạt GTNN khi \(T = {A_1}{A_2}\)\( \Rightarrow {T_{\min }} = {A_1}{A_2} = \sqrt {244} \,\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Suy ra \(a = 244\). Vậy \(a + 2026 = 2270\).

Đáp án:2270.