(Trả lời ngắn) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S: (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 25 và hình nón H có đỉnh A(3; 2; -2) và nhận AI làm trục đối xứng với I là tâm mặt cầu

Đáp án: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{{71}}{3}\)

Gọi hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(MN\) là \(K\).

Dễ thấy \(AN = NK = \frac{1}{3}AM\), mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = 5\)

Có \(AM.AN = A{I^2} - {R^2} = 4 \Rightarrow A{N^2} = \frac{4}{3} \Rightarrow KN = AN = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow IK = \sqrt {I{N^2} - K{N^2}}  = \frac{{\sqrt {213} }}{3}\).

Nhận thấy mặt cầu đồng tâm với mặt cầu \(\left( S \right)\) và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón \(\left( H \right)\) chính là mặt cầu tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) có bán kính \(IK = \frac{{\sqrt {213} }}{3}\).

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{{71}}{3}\).