(Trả lời ngắn) Trong không gian Oxyz, gọi I(1, b, c) là tâm mặt cầu đi qua điểm A(1; -1; 4) và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng tọa độ. Tính P = a + b + c

Đáp án: \(P = 9\)

Vì mặt cầu tâm \(I\) tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ nên \(d\left( {I,\,\left( {Oyz} \right)} \right) = d\left( {I,\,\left( {Ozx} \right)} \right) = d\left( {I,\,\left( {Oxy} \right)} \right)\) \( \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right|\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = c\\a = b =  - c\\a =  - b = c\\a =  - b =  - c\end{array} \right.\)

Nhận thấy chỉ có trường hợp \(a =  - b = c\) thì phương trình \(AI = d\left( {I,\,\left( {Oxy} \right)} \right)\) có nghiệm, các trường hợp còn lại vô nghiệm.

Thật vậy:

Với \(a =  - b = c\) thì \(I\left( {a;\, - a;\,a} \right)\)

\(AI = d\left( {I,\,\left( {Oyx} \right)} \right)\)\( \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {a - 4} \right)^2} = {a^2}\) \( \Leftrightarrow {a^2} - 6a + 9 = 0\) \( \Leftrightarrow a = 3\)

Khi đó \(P = a - b + c = 9\).