(Trả lời ngắn) Trong không gian Oxyz cho hình thang ABCD vuông tại A và B. Ba đỉnh A(1; 2; 1), B(2; 0; -1), C(6; 1; 0)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2; - 2} \right)\)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 3\); \(\overrightarrow {BC}  = \left( {4;1;1} \right)\)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 3\sqrt 2 \).

Theo giả thiết \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\) và có diện tích bằng \(6\sqrt 2 \) nên

\(\frac{1}{2}AB\left( {AD + BC} \right) = 6\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}.3.\left( {AD + 3\sqrt 2 } \right) = 6\sqrt 2 \)\( \Rightarrow AD = \sqrt 2 \)\( \Rightarrow AD = \frac{1}{3}BC\).

Do \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\) nên \(\overrightarrow {AD}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \).

Giả sử \(D\left( {a;b;c} \right)\) khi đó ta có $\left\{\begin{array}{l}a-1=\frac{4}{3}\\ b-2=\frac{1}{3}\\ c-1=\frac{1}{3}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{7}{3}\\ b=\frac{7}{3}\\ c=\frac{4}{3}\end{array}\right.\Rightarrow a+b+c=6$