(Trả lời ngắn) Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(5; -2; 0), B(4; 5; -2) và C(0; 3; 2). Điểm M di chuyển trên trục Ox

7/13

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho 3 điểm \[A\left( {5\,;\, - 2;0} \right)\,,\,B\left( {4\,;\,5; - 2} \right)\] và \[C\left( {0\,;\,3;2} \right)\]. Điểm $M$ di chuyển trên trục \[Ox\]. Đặt $Q = 2\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|$. Biết giá trị nhỏ nhất của $Q$ có dạng $a\sqrt b $ trong đó $a,b \in \mathbb{N}$ và $b$ là số nguyên tố. Tính $a + b$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Ta có $Q = 2 |\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| + 3 |\vec{M B} + \vec{M C}| = 2 |3 \overset{⇀}{M G} + \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}| + 3 |2 \vec{M I} + \vec{I B} + \vec{I C}|$

Với $G\left( {3;2;0} \right)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$và $I\left( {2;4;0} \right)$là trung điểm $BC$, ta có:

$Q = 2 |3 \overset{⇀}{M G}| + 3 |2 \vec{M I}| = 6 (M G + M I)$

Do $G$ và $I$ nằm cùng phía so với $Ox$ nên gọi $G'\left( {3; - 2;0} \right)$ là điểm đối xứng của $G$ qua $Ox$.

Khi đó $Q = 2 |3 \overset{⇀}{M G}| + 3 |2 \vec{M I}| = 6 (M G + M I) = 6 (M G' + M I) \geq 6 G' I = 6 \sqrt{37}$

Đẳng thức xảy ra khi $M$ là giao điểm của $G'I$ và $Ox$.