(Trả lời ngắn) Ông Nam cần xây dựng một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy để phục vụ cho việc tưới cây trong vườn. Do các điều kiện về diện tích vườn, ông Nam cần bể có

Xem bể chứa có dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$  như Hình 1.8.

Gọi $x \left(m\right)$  là chiều rộng của bể, ta có $0<x\le 4$ .

Hình 1.8

Chiều dài của bể là $2x \left(m\right)$ .

Gọi $h \left(m\right)$  là chiều cao bể nước, ta có thể tích của bể là $V=x.\left(2x\right).h.$ .

Suy ra $h=\frac{V}{2x^2}=\frac{36}{2x^2}=\frac{18}{x^2}\left(m\right)$ .

Tổng diện tích các mặt cần xây là:

$S=S_{ABCD}+2.S_{ABB\text{'}A\text{'}}+2.S_{BCC\text{'}B\text{'}}$

$=2x^2+2.x.\frac{18}{x^2}+2.2x.\frac{18}{x^2}=2x^2+\frac{108}{x}.$

Xét hàm số $S\left(x\right)=2x^2+\frac{108}{x}\left(0<x\le 4\right)$ , ta có:

$S\text{'}\left(x\right)=4x-\frac{108}{x^2}=\frac{4x^3-108}{x^2}=\frac{4\left(x-3\right)\left(x^2+3x+9\right)}{x^2}$

$S\text{'}\left(x\right)=0\iff x=3$

Do $x^2>0$  và $x^2+3x+9>0$  khi  $x\in (0;4]$ nên dấu của $S\text{'}\left(x\right)$  trên $(0;4]$  phụ thuộc dấu của biểu thức $x-3$ .

Bảng biến thiên:

Chi phí vật liệu xây dựng thấp nhất khi tổng diện tích các mặt cần xây $S\left(x\right)$  là nhỏ nhất. Dựa vào bảng biến thiên, ta có $S\left(x\right)$  đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=3$ , suy ra $h=2$ .

Vậy cần xây bể có chiều cao là $2 \left(m\right)$ .