(Trả lời ngắn) Một nhà sản xuất cần làm những hộp đựng hình trụ có thể tích 1 lít. Tìm các kích thước của hộp đựng để chi phí vật liệu dùng để sản xuất

Đổi 1 lít = 1000 cm³ .

Gọi r (cm)  là bán kính đáy của hình trụ, h (cm)  là chiều cao của hình trụ.

Diện tích toàn phần của hình trụ là: $S = 2{\mathrm{\pi r}}^2 + 2\mathrm{\pi rh}$ .

Do thể tích của hình trụ là 1000 cm³ nên ta có: 1000 = V = ${\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}$, hay $h = \frac{1000}{{\mathrm{\pi r}}^2}$ .

Do đó, diện tích toàn phần của hình trụ là: $S = 2{\mathrm{\pi r}}^2 + \frac{2000}{\mathrm{r}}, \mathrm{r} > 0$

Ta cần tìm r  sao cho S  đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có:

Bảng biến thiên:

Khi đó: $h = \frac{1000}{{\mathrm{\pi r}}^2}=\frac{1000}{{\mathrm{\pi }}^3\sqrt{{\displaystyle \frac{250000}{{\mathrm{\pi }}^2}}}}=\frac{100}{\sqrt[3]{250\mathrm{\pi }}}$

Vậy cần sản xuất các hộp đựng hình trụ có bán kính đáy $r = \sqrt[3]{\frac{500}{\mathrm{\pi }}}\approx 5.42 \left(cm\right)$ và chiều cao $h = \frac{100}{\sqrt[3]{250\mathrm{\pi }}}\approx 10.84 \left(cm\right)$ .