(Trả lời ngắn) Gọi (m,n) là hai giá trị thực thỏa mãn giao tuyến của hai mặt phẳng

\(m + n = 3\)

+ \(\left( {{P_m}} \right):mx + 2y + nz + 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {m;2;n} \right)\).

\(\left( {{Q_m}} \right):x - my + nz + 2 = 0\) có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_2}} \left( {1; - m;n} \right)\].

\(\left( \alpha  \right):4x - y - 6z + 3 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \left( {4; - 1; - 6} \right)\).

+ Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {{P_m}} \right)\) và \(\left( {{Q_m}} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {{P_m}} \right) \bot \left( \alpha  \right)\\\left( {{Q_m}} \right) \bot \left( \alpha  \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} \\\overrightarrow {{n_2}}  \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_\alpha }}  = 0\\\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow {{n_\alpha }}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m - 2 - 6n = 0\\4 + m - 6n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = 1\end{array} \right..\)

Vậy \(m + n = 3\).