(Trả lời ngắn) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính A'C.B'D'

Giả sử cạnh của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' bằng 1. Khi đó, A'C' = B'D' = $\sqrt{2}$
Gọi E' là giao điểm của hai đường chéo A'C' và B'D' của hình vuông A'B'C'D'. Khi đó, E' là trung điểm của A'C' và B'D'. Suy ra $\underset{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}{\to }= \underset{2E\text{'}D\text{'}}{\to }$  và E'D' =$\frac{\sqrt{2}}{2}$
Gọi E  là trung điểm của CC' . Mà E'  là trung điểm của A'C'  nên EF là đường trung bình của tam giác A'C'C . Do đó, $\underset{A\text{'}C}{\to }=\underset{2E\text{'}E}{\to }$ và E'E = $\frac{1}{2}A\text{'}C$
Áp dụng định lí Pythagore vào $∆A\text{'}C\text{'}C$ vuông tại C' có: $A\text{'}C=\sqrt{A\text{'}{C}^2+ C\text{'}{C}^2}=\sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$

$\Rightarrow E\text{'}E =\frac{\sqrt{3}}{2}$

Áp dụng định lí Pythagore vào $∆D\text{'}C\text{'}E$  vuông tại C' có:

$ED{\text{'}}^2=C\text{'}D{\text{'}}^2 + C\text{'}{E}^2 = 1+ \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

Vì $E\text{'}D{\text{'}}^2 + E\text{'}{E}^2=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}=ED{\text{'}}^2$ nên $∆E\text{'}D\text{'}E$ vuông tại E'. Do đó, $\underset{E\text{'}E}{\to }\perp \underset{E\text{'}D\text{'}}{\to }$
Ta có: $\underset{A\text{'}C}{\to }.\underset{B\text{'}D\text{'}}{\to }=2. \underset{E\text{'}E}{\to }.2.\underset{E\text{'}D\text{'}}{\to } = 0$  (đpcm)