(Trả lời ngắn) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cân đỉnh A. Biết BC = a√3 và góc ABC = 30 độ

Đáp án: \(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt {418} }}{{22}}\)

Gọi \(O\) là trung điểm \(BC\).

Ta có: BO=AB.cos30o⇔AB=BOcos30o=a32.32=a=AC và AO=AB.sin30o=a2.

Theo đề bài:

2CM→=3CC'→⇔CM→=32CC'→⇔CC'→+C'M→=32CC'→⇔C'M→=12CC'→⇒C'M=a2

Coi \(a = 1\).

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\)như hình vẽ với \(O\left( {0;\,0;\,0} \right)\), \(A\left( {0;\,\frac{1}{2};\,0} \right)\), \(B\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,0} \right)\), \(C\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,0} \right)\), \(B'\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,1} \right)\), \(M\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,\frac{3}{2}} \right)\).

Khi đó \(\left( {ABC} \right) \equiv \left( {Oxy} \right):z = 0 \Rightarrow \left( {ABC} \right)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k  = \left( {0;\,0;\,1} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB'}  = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\, - \frac{1}{2};\,1} \right)\), \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\, - \frac{1}{2};\,\frac{3}{2}} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( {AB'M} \right)}}}  = 4\left[ {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AM} } \right] = \left( {1;\,5\sqrt 3 ;\,2\sqrt 3 } \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {AB'M} \right)\).

Vậy \[{\rm{cos}}\alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow k .\overrightarrow {{n_{\left( {AB'M} \right)}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow k } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\left( {AB'M} \right)}}} } \right|}} = \frac{{\left| {2\sqrt 3 } \right|}}{{1.2\sqrt {22} }} = \sqrt {\frac{3}{{22}}}  \Rightarrow {\rm{sin}}\alpha  = \sqrt {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }  = \sqrt {\frac{{19}}{{22}}}  = \frac{{\sqrt {418} }}{{22}}\].