(Trả lời ngắn) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cân đỉnh A. Biết BC = a√3 và ABC = 30 độ, cạnh bên AA' = 0

8/9

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác cân đỉnh $A$. Biết $BC = a\sqrt 3 $ và $\hat{A B C} = 30^{o}$ , cạnh bên $AA' = a$. Gọi $M$ là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow {CM} = 3\overrightarrow {CC'} $. Gọi $\alpha $ là góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {AB'M} \right)$, khi đó tính $\sin \alpha $ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

(Trả lời ngắn) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cân đỉnh A. Biết BC = a√3 và ABC = 30 độ, cạnh bên AA' = 0 (ảnh 1)

Gọi $O$ là trung điểm $BC$.

Ta có: $B O = A B . {cos30}^{o} \Leftrightarrow A B = \frac{B O}{{cos30}^{o}} = \frac{a \sqrt{3}}{2. \frac{\sqrt{3}}{2}} = a = A C$ và $A O = A B . {sin30}^{o} = \frac{a}{2}$

Theo đề bài:

$2 \vec{C M} = 3 \vec{C C^{'}} \Leftrightarrow \vec{C M} = \frac{3}{2} \vec{C C^{'}} \Leftrightarrow \vec{C C^{'}} + \vec{C^{'} M} = \frac{3}{2} \vec{C C^{'}} \Leftrightarrow \vec{C^{'} M} = \frac{1}{2} \vec{C C^{'}} \Rightarrow C^{'} M = \frac{a}{2}$

(Trả lời ngắn) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cân đỉnh A. Biết BC = a√3 và ABC = 30 độ, cạnh bên AA' = 0 (ảnh 2)

Coi $a = 1$.

Gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$như hình vẽ với $O\left( {0;\,0;\,0} \right)$, $A\left( {0;\,\frac{1}{2};\,0} \right)$, $B\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,0} \right)$, $C\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,0} \right)$, $B'\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,1} \right)$, $M\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,\frac{3}{2}} \right)$.

Khi đó $\left( {ABC} \right) \equiv \left( {Oxy} \right):z = 0 \Rightarrow \left( {ABC} \right)$ có một véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow k = \left( {0;\,0;\,1} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {AB'} = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\, - \frac{1}{2};\,1} \right)$, $\overrightarrow {AM} = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\, - \frac{1}{2};\,\frac{3}{2}} \right)$$ \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( {AB'M} \right)}}} = 4\left[ {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AM} } \right] = \left( {1;\,5\sqrt 3 ;\,2\sqrt 3 } \right)$.

Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {AB'M} \right)$.

Vậy \[{\rm{cos}}\alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow k .\overrightarrow {{n_{\left( {AB'M} \right)}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow k } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\left( {AB'M} \right)}}} } \right|}} = \frac{{\left| {2\sqrt 3 } \right|}}{{1.2\sqrt {22} }} = \sqrt {\frac{3}{{22}}} \Rightarrow {\rm{sin}}\alpha = \sqrt {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } = \sqrt {\frac{{19}}{{22}}} = \frac{{\sqrt {418} }}{{22}}\].