(Trả lời ngắn) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', có AB = a, AD = a√2 góc giữa A'C và mặt phẳng ABCD bằng 30 độ

Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật nên \(A'C'\) là hình chiếu vuông góc của \(A'C\) trên (ABCD)⇒(A'C,(ABCD))=(A'C,A'C')=CA'C'^=300.

Ta có AC=AB2+AD2=a3;tanCA'C'^=CC'A'C'⇒CC'=a.

Kết hợp với giả thiết ta được \(ABB'A'\) là hình vuông và có \(H\) là tâm.

Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(K\) trên \(A'D'\& A'A.\)

Ta có 1AK2=1A'A2+1AD2⇒AK=a63;A'K=A'A2−AK2=a3;

1KF2=1KA2+1A'K2⇒KF=a23;KE=A'K2−KF2⇒KE=a3.

Ta chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) thỏa mãn \(O \equiv A'\) còn \(D',{\rm{ }}B',{\rm{ }}A\) theo thứ tự thuộc các tia \(Ox,{\rm{ }}Oy,{\rm{ }}Oz.\) Khi đó ta có tọa độ các điểm lần lượt là:

A(0;0;a),B'(0;a;0),H(0;a2;a2),K(a23;0;a3),E(a23;0;0),F(0;0;a23).

Mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) là mặt phẳng \((yOz)\) nên có VTPT là \({\overrightarrow n _1} = (1;0;0);\)

Ta có AK→,AH→=a26n→2, n→2(2;2;2).

Mặt phẳng \((AKH)\)có VTPT là \({\overrightarrow n _2} = (2;\sqrt 2 ;\sqrt 2 );\)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng\(\left( {AHK} \right)\) và \(\left( {ABB'A'} \right)\).

Ta có cosα=cos(n→1,n→2)=12⇒α=450.