Tổng \(a + b + c\) bằng bao nhiêu?
18/21
Cho hình chóp \(S.ABC\). Trên cạnh \(SA\), lấy điểm \(M\) sao cho \(SM = 2AM\). Trên cạnh \(BC\), lấy điểm \(N\) sao cho \(CN = 2BN\). Khi đó \(\overrightarrow {MN} = \frac{a}{b}\overrightarrow {AB} + \frac{c}{b}\overrightarrow {SC} \) với \(\,\frac{a}{b},\frac{c}{b}\) là các phân số tối giản. Tổng \(a + b + c\) bằng bao nhiêu?
Lời giải
Ta có \[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} \Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BN} \].
Lại có \[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MS} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {CN} \].
Suy ra \(3\overrightarrow {MN} = \left( {2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MS} } \right) + \left( {2\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} } \right) + 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {SC} \).
Khi đó, \[\overrightarrow {MN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {SC} \Rightarrow a = 2,b = 3,\,c = 1 \Rightarrow a + b + c = 6\].
Đáp án: 6.