Toạ độ điểm M ( 1/ 2 ; 1/ 2 ; 1/ 4 ) .

8/11

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh bằng $1$, có tâm $O$. Gọi $I$ là tâm của hình vuông $A'B'C'D'$ và $M$ là điểm thuộc đoạn $OI$ sao cho $MO = \frac{1}{2}MI$. Gắn hệ trục tọa độ $A'xyz$ như hình vẽ.

$Toạ độ điểm $M\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{4}} \right)$. (ảnh 1)$

a) Toạ độ điểm $M\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{4}} \right)$.

b) Toạ độ các điểm $A'\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)$, $B'\left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)$, $D'\left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)$ và $A\left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)$.

c) Trong không gian giả sử điểm $P,Q$ sao cho $\overrightarrow {A'P} = \overrightarrow {A'B'} + 2\overrightarrow {A'D'} - 2\overrightarrow {A'A} $; $\overrightarrow {A'Q} = \frac{8}{3}\overrightarrow {A'B'} + \frac{4}{3}\overrightarrow {A'D'} + \frac{8}{3}\overrightarrow {A'A} $ và $J\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $A'PQ$, khi đó $a - b + c = 0$.

d) Trong không gian có đúng 2 điểm $N$ sao cho $N$ không trùng với các điểm $A$, $B'$, $D'$ và \[\widehat {ANB'} = \widehat {B'ND'} = \widehat {D'NA} = 90^\circ \].

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Sai. Ta có: $A'\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\,,\,B'\left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\,,\,D'\left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)$. Suy ra: $I\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,0} \right)$.

Mặt khác ta có $O\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {OM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OI} \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = \left( {0\,;\,0\,;\, - \frac{1}{6}} \right)$. Vậy $M\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{3}} \right)$.

b) Đúng. Toạ độ các điểm $A'\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\,,\,B'\left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\,,\,D'\left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)$ và $A\left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)$.

c) Đúng. Ta có $\overrightarrow {A'P} = \overrightarrow {A'B'} + 2\overrightarrow {A'D'} - 2\overrightarrow {A'A} \Rightarrow P\left( {1\,;\,2\,;\, - 2} \right)$;

$\overrightarrow {A'Q} = \frac{8}{3}\overrightarrow {A'B'} + \frac{4}{3}\overrightarrow {A'D'} + \frac{8}{3}\overrightarrow {A'A} \Rightarrow Q\left( {\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}} \right)$.

Suy ra: $A'P = 3\,,\,A'Q = 4,PQ = 5$.

$J$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $A'PQ$. Suy ra $PQ.\overrightarrow {JA'} + A'P.\overrightarrow {JQ} + A'Q.\overrightarrow {JP} = \overrightarrow 0 $

$ \Leftrightarrow 5\overrightarrow {JA'} + 3\overrightarrow {JQ} + 4\overrightarrow {JP} = \overrightarrow 0 \Rightarrow J\left( {1;1;0} \right)$.

Vậy $a - b + c = 1 - 1 + 0 = 0$.

d) Đúng. Giả sử: $N\left( {a;b;c} \right)$.

Ta có \[\widehat {ANB'} = \widehat {B'ND'} = \widehat {D'NA} = 90^\circ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {B'N} = 0\\\overrightarrow {D'N} .\overrightarrow {B'N} = 0\\\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {D'N} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a\left( {a - 1} \right) + {b^2} + c\left( {c - 1} \right) = 0\\a\left( {a - 1} \right) + b\left( {b - 1} \right) + {c^2} = 0\\{a^2} + b\left( {b - 1} \right) + c\left( {c - 1} \right) = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c = 0\\a = b = c = \frac{2}{3}\end{array} \right.\]. Vậy có hai điểm $N$ thoả mãn điều kiện.