Tính xác suất để không có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án: \(0,6\).

Số cách xếp 10 bạn học sinh trong đội tuyển thi HSG vào một bàn dài mà mỗi bên có 5 ghế đối diện nhau là \(10! \Rightarrow n\left( \Omega  \right) = 10!\).

Xét các biến cố \(A\) : “Không có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau”.

                     \(\bar A\) : “Có học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau”.

                     \({A_1}\) : “Học sinh lớp 12A ngồi đối diện nhau”.

                        \({A_2}\) : “Học sinh lớp 12B ngồi đối diện nhau”.

                     \({A_1} \cap {A_2}\): “Học sinh 12A ngồi đối diện nhau và học sinh 12B ngồi đối diện nhau”.

\( \Rightarrow \overline A  = {A_1} \cup {A_2} \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = n\left( {{A_1}} \right) + n\left( {{A_2}} \right) - n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right)\).

Sắp xếp 2 học sinh lớp 12A ngồi vào hai ghế đối diện nhau, hoán đổi vị trí của 2 học sinh, sau đó sắp xếp 8 học sinh còn lại \( \Rightarrow n\left( {{A_1}} \right) = C_5^1 \cdot 2!\, \cdot 8!\).

Từ 3 học sinh lớp 12B, chọn ra 2 học sinh sắp xếp 2 học sinh này ngồi vào hai ghế đối diện, sau đó sắp xếp 8 học sinh còn lại \( \Rightarrow n\left( {{A_2}} \right) = A_3^2 \cdot C_5^1 \cdot 8!\).

Chọn vị trí để sắp xếp 2 học sinh lớp 12A vào ngồi hai ghế đối diện, tiếp tục chọn vị trí xếp tiếp 2 học sinh (chọn 2 trong 3 học sinh của lớp 12B) lớp 12B ngồi vào hai ghế đối diện, cuối cùng sắp xếp 6 học sinh còn lại \( \Rightarrow n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right) = 5 \cdot 2!\, \cdot 4 \cdot A_3^2 \cdot 6!\).

\( \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = n\left( {{A_1}} \right) + n\left( {{A_2}} \right) - n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right) = 1\,440\,000\).

\( \Rightarrow n\left( A \right) = n\left( \Omega  \right) - n\left( {\overline A } \right) = 2188800 \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{38}}{{63}} \approx 0,6\).