Tính tổng S các nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất trên đoạn [ − π ; π ] của phương trình c o t 2 x . c o t x = 1

12/20

Tính tổng S các nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất trên đoạn \[\left[ { - {\rm{\pi ; \pi }}} \right]\] của phương trình\[{\rm{cot2x}}{\rm{.cotx = 1}}\]

\[{\rm{S = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}\]

\[{\rm{S = \pi }}\]

\[{\rm{S = 0}}\]

\[{\rm{S = }}\frac{{{\rm{5\pi }}}}{{\rm{6}}}\]

Giải thích

Điều kiện:\[{\rm{sin2x}} \ne 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} \ne \frac{{{\rm{k\pi }}}}{{\rm{2}}}{\rm{,}}\,\,{\rm{k}} \in \mathbb{Z}\]

Cách 1 : \[{\rm{cot2x}}{\rm{.cotx = 1}} \Leftrightarrow {\rm{cot2x = tan}}\left( {\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}} - {\rm{x}}} \right) \Leftrightarrow {\rm{x = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{k\pi }}}}{{\rm{3}}}{\rm{,}}\,\,{\rm{k}} \in \mathbb{Z}\]

Cách 2 : \[{\rm{cot2x}}{\rm{.cotx = 1}} \Leftrightarrow {\rm{cos2xcosx = sin2xsinx}} \Leftrightarrow {\rm{cos3x = 0}}\]

\[ \Leftrightarrow {\rm{x = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{k\pi }}}}{{\rm{3}}}{\rm{,}}\,\,{\rm{k}} \in \mathbb{Z}\]

So sánh điều kiện\[ \Rightarrow {\rm{x = \pm }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}{\rm{ + k\pi ,}}\,{\rm{k}} \in \mathbb{Z}\]

Vì\[{\rm{x}} \in \left[ { - {\rm{\pi ; \pi }}} \right] \Rightarrow {\rm{x}} \in \left\{ {{\rm{ \pm }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}{\rm{; \pm }}\frac{{{\rm{5\pi }}}}{{\rm{6}}}} \right\}\]

Đáp án cần chọn là: C