Tính tổng S = a + b.

Do \(\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{1}{3};\frac{{CN}}{{CB}} = \frac{1}{2}\) Þ NP không song song với AC.

Trong (ABC), gọi I = NP Ç AC.

Trong (SAC), gọi Q = IM Ç SC.

Do IM Ì (MNP) Þ Q = SC Ç (MNP).

Xét DIBC:

Kẻ NJ song song AB (J Î AC).

Do N là trung điểm của BC Þ J là trung điểm của AC Þ AC = 2AJ.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AP//NJ\\\frac{{IP}}{{NP}} = 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \frac{{IA}}{{AJ}} = 2\)Þ AI = 2AJ Þ IA = AC = 2AJ.

Þ A là trung điểm của IC.

Xét DSIC:

Kẻ AK song song IQ (K Î SC).

Do A là trung điểm của IC Þ K là trung điểm của QC Þ QK = KC.

Ta có MQ // AK, M là trung điểm của SA Þ Q là trung điểm của SK.

Þ SQ = QK Þ SQ = QK = KC Þ \(SQ = \frac{1}{3}SC \Rightarrow \frac{{SQ}}{{SC}} = \frac{1}{3}\).

Suy ra a = 1; b = 3. Do đó a + b = 4.

Trả lời: 4.