Tính tổng S = 14 + 24 + … + n4.

Sử dụng định lí: r⁵ – (r – 1)⁵ = 5r⁴ – 10r³ + 10r² – 5r + 1.

Với r = 1 đến r = n, ta có:

1⁵ – 0⁵ = 5 . 1⁴ – 10 . 1³ + 10 . 1² – 5 . 1 + 1

2⁵ – 1⁵ = 5 . 2⁴ – 10 . 2³ + 10 . 2² – 5 . 2 + 1

3⁵ – 2⁵ = 5 . 3⁴ – 10 . 3³ + 10 . 3² – 5 . 3 + 1

...

n⁵ – (n – 1)⁵ = 5n⁴ – 10n³ + 10n² – 5n + 1

Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được:

n⁵ = 5(1⁴ + 2⁴ + ... + n⁴) – 10(1³ + 2³ + ... + n³) + 10(1² + 2² + ... + n²) – 5(1 + 2 + ... + n) + n

⇔ n⁵ = 5S – 10 . nn+122 + 10 . nn+12n+16 −5n+1n2+ n 

⇒ 5S = n⁵ + 10 . nn+122  – 10 .  nn+12n+16+ 5n+1n2−n

          = n.6n4+15n3+2n2+n−102n2+3n+1+15n+1−66

          =  n66n4+15n3+10n2−1

          = n6n+16n3+4n2+n−1

          =  n6n+12n+13n2+3n−1

⇒S=n30n+12n+13n2+3n−1.