Tính tổng các nghiệm nguyên thuộc (-5;10) của bất phương trình

Ta có \[{2^{{x^2} + x}}\left( {3{x^2} - 6x + 6} \right) \ge 7{x^2} - 29x + 34\]

\[ \Leftrightarrow {2^{{x^2} + x - 2}}\left( {12{x^2} - 24x + 24} \right) \ge 7{x^2} - 29x + 34\]

Đặt \[a = 12{x^2} - 24x + 24\,,\,\,b = 7{x^2} - 29x + 34\,\,\left( {a\,,\,\,b > 0} \right)\]\( \Rightarrow {x^2} + x - 2 = \frac{{a - b}}{5}.\)

Khi đó ta có \({2^{\frac{{a - b}}{5}}} \cdot a \ge b \Leftrightarrow a \cdot {2^{\frac{a}{5}}} \ge b \cdot {2^{\frac{b}{5}}}\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = t \cdot {2^{\frac{t}{5}}}\) với \(t > 0\). Ta có \(f'\left( t \right) = {2^{\frac{t}{5}}} + \frac{1}{5}t \cdot {2^{\frac{t}{5}}}\ln 2 > 0\,\,\forall t > 0.\)

Khi đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\)

\[ \Rightarrow f\left( a \right) \ge f\left( b \right) \Leftrightarrow a \ge b\]\[ \Rightarrow 12{x^2} - 24x + 24 \ge 7{x^2} - 29x + 34\]

\[ \Leftrightarrow 5{x^2} + 5x - 10 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le  - 2\end{array} \right.\].

Kết hợp điều kiện ta suy ra \(x \in \left\{ { - 5\,;\,\, - 4\,;\,\, \ldots ;\,\,10} \right\}.\)

Do đó tổng các nghiệm nguyên thuộc \(\left[ { - 5\,;\,\,10} \right]\) của bất phương trình là:

\( - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 + 0 + 1 + 2 +  \ldots  + 10 = 41.\) Chọn D.