Tính tổng biểu thức: 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2

S = 1² + 2² + 3² + ... + n²

= 1.2 ‒ 1 + 2.3 ‒ 2 + 3.4 ‒ 3 + ... + n(n + 1) ‒ n

= [1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1)] ‒ (1 + 2 + 3 + ... + n)

Theo dạng tổng quát:

\[1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + ... + n\left( {n + 1} \right) = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}\]

\[ \Rightarrow S = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3} - \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\]

\[ = \frac{{2n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{6} - \frac{{3n\left( {n + 1} \right)}}{6}\]

\[ = \frac{{2n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) - 3n\left( {n + 1} \right)}}{6}\]

\[ = \frac{{n\left( {n + 1} \right) \cdot \left[ {2\left( {n + 2} \right) - 3} \right]}}{6}\]

\[ = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\]

Vậy \[S = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\]