Tính thể tích V của khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' biết độ dài cạnh đáy của lăng trụ bằng 2 đồng thời góc tạo bởi

28/50

Tính thể tích \[V\] của khối lăng trụ tứ giác đều $ABCD.A'B'C'D'$ biết độ dài cạnh đáy của lăng trụ bằng \[2\] đồng thời góc tạo bởi $A'C$ và đáy \[\left( {ABCD} \right)\] bằng \[30^\circ \].

$V = \frac{{8\sqrt 6 }}{9}$.

$V = 8\sqrt 6 $.

$V = 24\sqrt 6 $.

$V = \frac{{8\sqrt 6 }}{3}$.

Giải thích

$Tính thể tích \[V\] của khối lăng trụ tứ giác đều $ABCD.A'B'C'D'$ biết độ dài cạnh đáy của lăng trụ bằng \[2\] đồng thời góc tạo bởi $A'C$ và đáy \[\left( {ABCD} \right)\] bằng \[30^\circ (ảnh 1)$

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là khối trụ tứ giác đều nên đáy là hình vuông và cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Hình chiếu của $A'C$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là $AC.$

$ \Rightarrow \widehat {\left( {A'C;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {A'C;AC} \right)} = \widehat {A'CA} = {30^0}.$

Trong tam giác vuông $A'AC$ có $AC = AB\sqrt 2 = 2\sqrt 2 $

$A'A = AC.\tan {30^0} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}$

${S_{ABCD}} = A{B^2} = 4$

Thể tích $V$ của khối lăng trụ tứ giác đều $ABCD.A'B'C'D'$ là $V = \frac{{8\sqrt 6 }}{3}$.

Đáp án D