Tính thể tích tứ diện NSDC.

85/120

Sử dụng thông tin dưới đây trả lời câu hỏi đến 85 đến 87

Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a. \(SA = a,SB = a\sqrt 3 \), \(\widehat {BAD} = {60^ \circ }\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với mặt đáy. Gọi \({\rm{M}},{\rm{N}}\) lần lượt là trung điểm AB, BC.

\(\frac{{3{a^3}}}{4}\).

\(\frac{{{a^3}}}{{12}}\).

\(\frac{{{a^3}}}{4}\).

\(\frac{{{a^3}}}{3}\).

Giải thích

Đáp án C

Hướng dẫn giải

Tính thể tích tứ diện NSDC. (ảnh 1)

Từ \[AB = 2a,\,\,SA = a,\,\,SB = a\sqrt 3 \Rightarrow \Delta SAB\] vuông tại S

Kẻ \(SH \bot AB\) tại H , do \(\left( {{\rm{SAB}}} \right) \bot \left( {{\rm{ABCD}}} \right)\) nên \({\rm{SH}} \bot \left( {{\rm{ABCD}}} \right)\)

Ta có: \(SH = \frac{{SA.SB}}{{AB}} = \frac{{a.a\sqrt 3 }}{{2a}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Mặt khác \({S_{CDN}} = \frac{1}{2}.CD.CN.\sin \left( {DCN} \right) = \frac{1}{2}.2a.a.{\rm{sin}}\left( {60} \right) = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Do vậy: \({V_{{\rm{NSDC\;}}}} = {V_{S.CDN}} = \frac{1}{3}.{S_{CDN}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{4}\)