Tính thể tích nhỏ nhất của khối hộp chữ nhật A B C D . A ′ B ′ C ′ D ′ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Đáp án: 5196.

 

Gọi độ dài 3 cạnh \[AB,AD,AA'\] lần lượt là \[x,y,z\].

Thể tích của khối \[ABCD.A'B'C'D'\] là: \[V = xyz\].

Kẻ \(AK \bot BD\,\,\left( {K \in BD} \right)\), \(AH \bot A'K\,\,\left( {H \in A'K} \right)\). Ta chứng minh được \(AH \bot \left( {A'BD} \right)\).

Khoảng cách từ\[A\]tới mặt phẳng \[\left( {A'BD} \right)\] bằng \[AH = 10\] nên ta có:

\[\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{{A'}^2}}} = \frac{1}{{{{10}^2}}}\] hay \[\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} = \frac{1}{{100}}\].

Ta cần tìm GTNN của biểu thức \[V = xyz\].

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm \[\frac{1}{{{x^2}}}\], \[\frac{1}{{{y^2}}}\], \[\frac{1}{{{z^2}}}\] ta được:

\[\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} \ge 3 \cdot \sqrt[3]{{\frac{1}{{{x^2}}} \cdot \frac{1}{{{y^2}}} \cdot \frac{1}{{{z^2}}}}}\]\[ \Rightarrow \frac{1}{{100}} \ge 3 \cdot \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2} \cdot {y^2} \cdot {z^2}}}}}\]\[ \Rightarrow x \cdot y \cdot z \ge \sqrt {{{300}^3}} \approx 5196\].

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[x = y = z = 10\sqrt 3 \](TM).

Vậy thể tích nhỏ nhất của khối hộp \[ABCD.A'B'C'D'\] là 5196 (đơn vị thể tích).