Tính thể tích khối chóp S . A B C D bằng bao nhiêu?

Đáp án:\(9\).

 

Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(OI \bot SC\) tại \(I\); \(AH \bot SC\) tại \(H\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot SA}\\{BD \bot AC}\end{array} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)} \right.\), \(OI \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow OI \bot BD\) và \(BD \bot SC\).

Vậy \(SC \bot \left( {BID} \right) \Rightarrow SC \bot BI;\,SC \bot DI\) nên góc phẳng nhị diện \(\left[ {B,SC,D} \right]\) bằng \(\widehat {BID}\).

\( \Rightarrow \widehat {BID} = 120^\circ \). Suy ra \(\widehat {BIO} = 60^\circ \).

Khi đó, \(\tan \widehat {BIO} = \frac{{BO}}{{OI}} \Rightarrow \tan 60^\circ = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot 3}}{{OI}} \Leftrightarrow OI = \frac{{\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow AH = \sqrt 6 \).

Tam giác vuông \(SAC\) có đường cao \(AH \Rightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} \Rightarrow SA = 3.\)

Vậy thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \(V = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 9 = 9\).