Đáp án B

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;3;2} \right)\). Gọi H là trung điểm AB. Khi đó \(H\left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2};2} \right)\).

Gọi I là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\). Khi đó, ta có I thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn AB.

Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. Khi đó, \(\left( Q \right)\) sẽ nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;3;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là \(x + 3y + 2{\rm{z}} - 16 = 0\).

Gọi M là điểm thuộc giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Tọa độ của M là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y + z - 7 = 0\\x + 3y + 2{\rm{z}} - 16 = 0\end{array} \right.\), chọn \(M\left( { - 11;9;0} \right)\).

Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Khi đó, d có vectơ chỉ phương

\(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ;\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right] = \left( {1; - 1;1} \right)\).

Vậy phương trình của d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 11 + t\\y = 9 - t\\z = t\end{array} \right.\).

Điểm I nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\), suy ra \(I\left( { - 11 + t;9 - t;t} \right)\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R = IA = \sqrt {{{\left( {t - 12} \right)}^2} + {{\left( {7 - t} \right)}^2} + {{\left( {t - 1} \right)}^2}} = \sqrt {3{{\left( {t - \frac{{20}}{3}} \right)}^2} + \frac{{182}}{3}} \ge \frac{{\sqrt {546} }}{3}\).

Vậy bán kính nhỏ nhất của mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(\frac{{\sqrt {546} }}{3}\) khi và chỉ khi \(I\left( { - \frac{{13}}{3};\frac{7}{3};\frac{{20}}{3}} \right)\).

Tính thể tích của khối nón có chiều cao bằng 4 và độ dài đường sinh bằng 5.