Tính thể tích của ( H ) .
20/22
Cho hai khối trụ có bán kính đáy bằng \(3\) và có trục là hai đường thẳng cắt nhau và vuông góc với nhau (xem hình vẽ). Gọi \(\left( H \right)\) là phần giao nhau của hai khối trụ đó. Tính thể tích của \(\left( H \right)\).
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Mặt phẳng vuông góc với tia \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\), cắt hình \(\left( H \right)\) theo thiết diện là một hình vuông có cạnh \(AB\).
Ta có \({\left( {\frac{1}{2}AB} \right)^2} = {R^2} - {x^2} = 9 - {x^2} \Rightarrow A{B^2} = 36 - 4{x^2}\).
Vậy diện tích thiết diện là \(S\left( x \right) = A{B^2} = 36 - 4{x^2}\).
Thể tích của \(\left( H \right)\) là \(V = 2\int\limits_0^3 {S\left( x \right)\,} {\rm{d}}x = 2\int\limits_0^3 {\left( {36 - 4{x^2}} \right)\,} {\rm{d}}x = 144\).
Đáp án:\(144\).