$Đường tròn tâm \(O\) nội tiếp hình vuông \(ABCD\), tiếp điểm trên \(AB\) là \(M\). Một tiếp tuyến với \((O)\) cất các cạnh \(BC,CD\) lần lượt ở \(E,F\). Chứng minh rằng a) Các tam giác \(DFO\) và \(BOE\) đồng dạng. (ảnh 1)$

a) Xét tam giác \(\Delta DFO\), ta có $\hat{D O F} + \hat{D F O} + \hat{O D F} = 180^{°}$

$\Rightarrow \hat{D O F} + \hat{D F O} = 145^{°}$ (do $\hat{O D F} = 45^{°})$ (1)

Xét tứ giác \(DBEF\), ta có

Mặt khác ta có \(FO,EO\) lần lượt là phân giác góc \(DFE\) và \(BEF\) nên ta có

$\hat{D F O} = \frac{1}{2} \hat{D F E}$ và $\hat{B E O} = \frac{1}{2} \hat{B E F}$

Suy ra $\hat{D F O} + \hat{B E O} = 145^{°}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {DOF} = \widehat {BEO}\).

Xét tam giác \(DOF\) và tam giác \(BEO\), ta có

+ \(\widehat {ODF} = \widehat {OBE} = 45^\circ \);

+ \(\widehat {DOF} = \widehat {BEO}\) (chứng minh trên).

\( \Rightarrow \Delta DOF \sim \Delta BEO(\;{\rm{g}} - {\rm{g}})\)

b) \(\Delta DOF\~\Delta BEO \Rightarrow \frac{{DF}}{{BO}} = \frac{{DO}}{{BE}} \Rightarrow DF \cdot BE = DO \cdot BO = \frac{{B{D^2}}}{4} = \frac{{A{B^2}}}{2} = BM \cdot AD.\)

\( \Rightarrow \frac{{BM}}{{DF}} = \frac{{BE}}{{AD}}\)

Xét tam giác \(ADF\) và \(EBM\), ta có

+ \(\widehat {ADF} = \widehat {MBE}\)

+ \(\frac{{BM}}{{DF}} = \frac{{BE}}{{AD}}\).

Suy ra \(\Delta ADF \sim \Delta EBM \Rightarrow \widehat {BME} = \widehat {AFD}\)

Mặt khác ta có \(\widehat {BAF} = \widehat {AFD}(AB//CD)\). Suy ra \(\widehat {BME} = \widehat {BAF}\) suy ra \(ME//ED\) .

Tính số cạnh của một đa giác đều, biết mỗi góc của nó bằng 135 ∘ .