Tính nhanh giá trị các biểu thức sau: d) D = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + . . . + 99 ⋅ 100 .

d) Ta có \(D = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + ... + 99 \cdot 100\) nên \(3D = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 3 + ... + 99 \cdot 100 \cdot 3\)

Suy ra \(3D = 1 \cdot 2 \cdot \left( {3 - 0} \right) + 2 \cdot 3 \cdot \left( {4 - 1} \right) + ... + 99 \cdot 100 \cdot \left( {101 - 98} \right)\)

\[ = 1 \cdot 2 \cdot 3 - 1 \cdot 2 \cdot 0 + 2 \cdot 3 \cdot 4 - 2 \cdot 3 \cdot 1 + ... + 99 \cdot 100 \cdot 101 - 99 \cdot 100 \cdot 98\]

\[ = \left( {1 \cdot 2 \cdot 3 - 2 \cdot 3 \cdot 1} \right) + \left( {2 \cdot 3 \cdot 4 - 3 \cdot 4 \cdot 2} \right) + ... + \left( {98 \cdot 99 \cdot 100 - 99 \cdot 100 \cdot 98} \right) + \left( {99 \cdot 100 \cdot 101 - 1 \cdot 2 \cdot 0} \right)\]

\[ = 99 \cdot 100 \cdot 101 - 0 = 99 \cdot 100 \cdot 101\].

Do đó \(D = \frac{{99 \cdot 100 \cdot 101}}{3} = 33 \cdot 100 \cdot 101 = 333\,\,300\).