Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối (ảnh 1)

a) Gọi giao điểm của AD và EO là T

Giao điểm của BC và OF là H

Xét tứ giác EAOD có

\(\left\{ \begin{array}{l}AT = TD\\ET = TO\end{array} \right.\)⇒ EAOD là hình bình hành

Mà AD⊥EO nên tứ giác EAOD là hình thoi.

Hình thoi EAOD có \(\widehat {AOD} = 90^\circ \)nên là hình vuông.

Vậy EAOD là hình vuông theo dấu hiệu nhận biết hình thoi có 1 góc vuông.

Chứng minh tương tự với tứ giác OBFC.

b) Xét 2 tam giác ECF và FDE có:

\(\widehat {CFE} = \widehat {DEF} = 45^\circ \)

EF chung

FC = DE

Nên: ∆ECF = ∆FDE (c.g.c)

Suy ra: \(\widehat {FEC} = \widehat {EFD}\)

Vậy tam giác EFI cân

Mà O là trung điểm của EF ⇒ OI ⊥ EF

c) Ta có:

ΔAED = ΔABO = ΔBCO = ΔCOD = ΔDOA = ΔBFC

S_ΔAED+ S_ΔABO + S_ΔBCO + S_ΔCOD + S_ΔDOA + S_ΔBFC = S_ABCDFE = 6

Suy ra: S_ΔABO = S_ΔBCO = S_ΔCOD = S_ΔDOA = 1

S_ABCD = S_ΔABO + S_ΔBCO + S_ΔCOD + S_ΔDOA = 4

AB = BC = CD = AD = 2

d) Gọi M là giao điểm của IO với AB, N là giao điểm của IM cới AK, ta có:

IO ⊥ FE ⇒ IO ⊥ AB

⇒ OM ⊥ AB, mà O là trung điểm của của HT nên M là trung điểm của AB.

Xét tam giác ABK có:

MA = MB(cmt)

MN // BK (vì MO//CD)

Do đó NA = NK là trung điểm của AK⇒ IN là đường trung tuyến của ΔAIK.

Mà G là trọng tậm tam giác nên G ∈ IN ⇒ G ∈ IM với IM cố định (I,M cố định).

Vậy điểm G luôn nằm trên đường thẳng cố định IM.

Tính nhanh: 11 + (- 13) + 15 + (- 17) + ...... + 59 + (- 61)