Tính l i m ( 1/n^2 + 1 + 2/(n^2 + 2) + … + n/( n^2 + n )) bằng A. 0. B. + ∞ C. 1 2 . D. 1 4 .

Giải thích

Ta có: \(\frac{{1 + 2 +  \ldots  + n}}{{{n^2} + n}} \le \frac{1}{{{n^2} + 1}} + \frac{2}{{{n^2} + 2}} +  \ldots  + \frac{n}{{{n^2} + n}} \le \frac{{1 + 2 +  \ldots  + n}}{{{n^2} + 1}}\).

Mà \({\rm{lim}}\frac{{1 + 2 +  \ldots  + n}}{{{n^2} + n}} = {\rm{lim}}\frac{{\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}}{{{n^2} + n}} = \frac{1}{2}\);

\({\rm{lim}}\frac{{1 + 2 +  \ldots  + n}}{{{n^2} + 1}} = {\rm{lim}}\frac{{\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}}{{{n^2} + 1}} = {\rm{lim}}\frac{{{n^2} + n}}{{2\left( {{n^2} + 1} \right)}} = {\rm{lim}}\frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{2\left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}} = \frac{1}{2}\)

Nên \({\rm{lim}}\left( {\frac{1}{{{n^2} + 1}} + \frac{2}{{{n^2} + 2}} +  \ldots  + \frac{n}{{{n^2} + n}}} \right) = \frac{1}{2}\).

 Chọn C