Tính kích thước ban đầu của mảnh đất hình chữ nhật.

Gọi \(a,\,\,b\) lần lượt là chiều dài, chiều rộng ban đầu của mảnh đất hình chữ nhật \(\left( {a > b > 0} \right)\) (m).

Diện tích ban đầu của mảnh đất là: \(ab\) (m²).

Chu vi ban đầu của mảnh đất là:

\[2\left( {a + b} \right) = 82\] suy ra \[a + b = 41\] (1) (do đó \(0 < b < a < 41).\)

Sau khi tăng chiều dài thêm \[5\,{\rm{m}}\]thì mảnh đất có chiều dài mới là: \(a + 5{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Sau khi gấp đôi chiều rộng thì mảnh đất có chiều rộng mới là: \(2b{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Diện tích mới của mảnh đất là: \[\left( {a + 5} \right)2b\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right).\]

Theo đề bài, diện tích của hình mới tăng thêm \[560\,\,{{\rm{m}}^2}\] nên ta có phương trình:

\[\left( {a + 5} \right)2b = ab + 560\] (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 41\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {a + 5} \right)2b = ab + 560\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Từ (1) ta có \[b = 41 - a\], thay vào phương trình (2), ta được:

\(\left( {a + 5} \right)2\left( {41 - a} \right) = \;a\left( {41 - a} \right) + \;560\)

Giải phương trình:

\(\left( {a + 5} \right)2\left( {41 - a} \right) = \;a\left( {41 - a} \right) + \;560\)

\(\left( {a\; + \;5} \right)\left( {82\; - \;2a} \right)\; = \;a\left( {41\; - \;a} \right)\; + \;560\)

\(82a - 2{a^2}\; + \;410\; - 10a\; = \;41a\; - \;{a^2}\; + \;560\)

\({a^2} - 31a + 150 = 0\)

\({a^2} - 6a - 25a + 150 = 0\)

\(a\left( {a - 6} \right) - 25\left( {a - 6} \right) = 0\)

\(\left( {a - 6} \right)\left( {a - 25} \right) = 0\)

 \(a = \;6\) hoặc \(a = 25\).

Nếu \(a = 6\) thì \[b = 41 - 6 = 35\] (không thỏa mãn \(a > b).\)

Nếu \(a = 25\) thì \(b = 41 - 25 = 16\) (thỏa mãn).

Vậy chiều dài, chiều rộng ban đầu lần lượt là \[25\,{\rm{m}}\] và \[16\,{\rm{m}}\].