Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí A là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo đến vị trí B: 45 độ N, 30 độ E

Vi A là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo nên \({\rm{A}}(1;0;0)\). Do đó \(\overrightarrow {OA}  = (1;0;0)\)

Điểm Bcos45°cos30°;cos45°sin30°;sin45° hay B64;24;22

Suy ra \(\overrightarrow {OB}  = \left( {\frac{{\sqrt 6 }}{4};\frac{{\sqrt 2 }}{4};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

Có \(\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB}  = \frac{{\sqrt 6 }}{4}\)

Vi A, B thuộc mặt đất nên \(|\overrightarrow {OA} | = |\overrightarrow {OB} | = 1\)

Do đó cosAOB^=OA→⋅OB→|OA→|⋅|OB→|≈0,6124. Suy ra AOB^≈52,2388°.

Mặt khác, đường tròn tâm O đi qua \({\rm{A}},{\rm{B}}\) có bán kính 1 và chu vi là \(2\pi  \approx 6,2832\), nên cung nhỏ  của đường tròn đó có độ dài xấp xỉ bằng \(\frac{{52,2388}}{{360}} \cdot 6,2832 \approx 0,9117\).

Do 1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6371 km trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí \({\rm{A}},{\rm{B}}\) xấp xỉ bằng \(0,9117.6371 = \) \(5808,4407(\;{\rm{km}})\).