Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH (H ∈ BC). 1) Cho AH = 6; BH = 3. Tính BC và số đo (góc làm tròn đến phút). 2) Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt tia CA tại K. Hạ AE ⊥ BK (E ∈ BK). Chứng minh rằng: AK.AC = EH2, từ đó suy ra BH.HC + BE.EK = AK.AC. (ảnh 1)

1) Áp dụng hệ thức lượng giác vào tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

AH² = BH.HC

⇒ 6²= 3. HC ⇒ HC = 6² : 3= 12cm

Ta có : BC = BH + HC = 3 + 12 =15 cm

1AH2=1AB2+1AC2⇒AC=65AB=AH2+BH2=32+62=35

Xét tam giác BAC vuông tại A có: sinABC^=ACBC=6515=255⇒ABC^=63°

2) Xét tam giác BAK và tam giác CAB có:

BAK^=BAC^=90°

BKA^=ABC^ (cùng phụ với KBA^)

Suy ra: ∆BAK ∽ ∆CAB (g.g)

⇒ BAAC=AKAB⇒AB2=AK.AC

Lại có: ABHE là hình chữ nhật vì H^=B^=E^=90° nên AB = HE

Suy ra: EH² = AK.AC (1)

Xét tam giác BEA và tam giác AEK có:

BEA^=AEK^=90°ABE^=KAE^=90°−EAB^

Suy ra: ∆BEA ∽∆AEK (g.g)

⇒ BEAE=AEEK⇒ BE.EK = AE²

Xét tam giác BHA và tam giác AHC có:

BHA^=CHA^=90°ABH^=CAH^=90°−ACH^

Suy ra: ∆BHA ∽ ∆AHC (g.g)

⇒ BHAH=AHHC ⇒ AH² = BH.HC

⇒ BH.HC + BE.EK = AE² + AH² = EH² (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BH.HC + BE.EK = AK.AC.

Tính hợp lý: 5 – (1997 – 2005) + 1997.