Tính góc C của tam giác ABC biết c^4 – 2(a^2 + b^2)c^2 + a^4 + a^2b^2 + b^4 = 0 với BC = a, AC = b, AB = c.

Lời giải

Ta có:

c⁴ – 2(a² + b²)c² + a⁴ + a²b² + b⁴ = 0

⇔ c⁴ – 2(a² + b²)c² + (a⁴ + 2a²b² + b⁴) – a²b² = 0

⇔ c⁴ – 2(a² + b²)c² + (a² + b²)² – a²b² = 0

⇔ (a² + b² – c²)² – a²b² = 0

⇔ (a² + b² – c² – ab)(a² + b² – c² + ab) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} - {c^2} - ab = 0\\{a^2} + {b^2} - {c^2} + ab = 0\end{array} \right.\)

Áp dụng định lý cosin:

Nếu a² + b² – c² – ab = 0 hay a² + b² – c² = ab

\[{\rm{cosC}} = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2{\rm{a}}b}} = \frac{{ab}}{{2{\rm{a}}b}} = \frac{1}{2}\]

Suy ra \(\widehat C = 60^\circ \)

Nếu a² + b² – c² + ab = 0 hay a² + b² – c² = –ab

\[{\rm{cosC}} = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2{\rm{a}}b}} = \frac{{ - ab}}{{2{\rm{a}}b}} = \frac{{ - 1}}{2}\]

Suy ra \(\widehat C = 120^\circ \).